Diketahui deret geometri tak hingga \( u_1+u_2+u_3+\cdots \). Jika rasio deret geometri adalah \(r\) dengan \(-1 < r < 1\), \( u_1+u_2+u_3 + \cdots = 6 \) dan \( u_3+u_4+u_5+\cdots = 2 \), maka nilai \(r\) adalah….
- \( -\frac{1}{4} \) atau \( \frac{1}{4} \)
- \( -\frac{1}{3} \) atau \( \frac{1}{3} \)
- \( -\frac{1}{2} \) atau \( \frac{1}{2} \)
- \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) atau \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
- \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \) atau \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
(Soal SBMPTN 2013)
Pembahasan:
Deret \( u_1+u_2+u_3+\cdots = 6 \) artinya jumlah seluruh suku-sukunya adalah 6, sehingga berlaku:
\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 6 &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] a &= 6(1-r) \\[8pt] a &= 6-6r \\[8pt] u_3+u_4+u_5+\cdots &= 2 \\[8pt] (u_1+u_2)+u_3+u_4+u_5+\cdots &= (u_1+u_2)+2 \\[8pt] 6 &= a+ar+2 \\[8pt] 4 &= (6-6r)+(6-6r)r \\[8pt] 4 &= 6-6r+6r-6r^2 \\[8pt] 4-6 &= -6r^2 \\[8pt] r^2 &= \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \\[8pt] r &= \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\[8pt] \text{Jadi,} \ r &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \ \text{atau} \ r = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}
Jawaban D.